УСТОЙЧИВОСТЬ САМОЛЕТА В БОКОВОМ ДВИЖЕНИИ

Поскольку возмущенное боковое движение самолета опи­сывается системой линейных дифференциальных уравнений с по­стоянными коэффициентами, воспользуемся для анализа его устой­
чивости критерием Рауса—Гурвица. Согласно этому критерию само­лет будет устойчив в боковом движении, если все коэффициенты характеристического уравнения (17.10) будут положительны и поло­жительно выражение

R = сца&з — Й3О0 — о?» (17.14)

При полете самолета со скоростями меньше гиперзвуковых на до — критических углах атаки все вращательные производные, кроме тих,

СО

имеют отрицательный знак. Производная тух может быть как отри­цательной, так и положительной, но по модулю она невелика по сравнению с другими производными.

Отсюда следует, что согласно (17.11) коэффициенты alt аа, а3 на упомянутых выше режимах всегда положительны, если самолет ста­тически устойчив (Шх < 0, ml < 0). Что касается коэффициента а0, то он может быть в этих условиях и положительным, и отрицатель­ным. Таким образом, устойчивость самолета в боковом движении будет определяться по существу двумя условиями: а0 > 0 и R >0. Первое неравенство является условием спиральной устойчивости самолета, т. е. условием того, что малый корень имеет отрицатель- ныйзнак. На самом деле, из формулы (17.12) следует, что а0 = Я,,Я,2(о§. Для самолета, спроектированного в соответствии с нормами летной годности, на докритических углах атаки большой корень Я^ всегда отрицателен, a tog >0. Следовательно, при а„ > 0 малый действи­тельный корень будет отрицательным, а при а0 < 0 положительным. Неравенство R >0 является условием устойчивости колебатель­ного движения. На границе колебательной устойчивости, когда комплексные корни характеристического уравнения Я,3 и Я,4 стано­вятся чисто мнимыми = ±Pt, выполняется условие R = 0. Это легко доказать, подставив в характеристическое уравнение зна­чение Я, = р/. В левой части полученного тождества

Р4 — fl3p8i — ОаР2 + flip і + fl0 = 0

комплексная величина. Действительная и мнимая части этой вели­чины должны быть тождественно равны нулю, т. е.

Р4 — ааРа + а0 = 0;

—а3р8 + йхР = 0.

Таким образом, при наличии чисто мнимого корня Я, = Pi имеем два уравнения относительно р.

Определив из второго уравнения Ра = aja3 и подставив это зна­чение в первое уравнение, получим соотношение между коэффициен­тами характеристического уравнения в случае чисто мнимых корней

Умножив правую и левую части на — а, напишем условие, при ко­тором характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни, следующим образом:

ща^а з — а3ао — а = 0,

или, с учетом выражения (17.14), R = 0.

Несмотря на простоту условий устойчивости, ее исследование является непростой задачей, так как коэффициенты характеристи­ческого уравнения являются довольно сложными функциями кон­структивных параметров, аэродинамических характеристик и ре­жима полета самолета. Чтобы сделать анализ боковой устойчивости более наглядным, несколько преобразуем уравнения бокового воз­мущенного движения — приведем их к безразмерному виду. Для этого все размерные величины выразим через соответствующие без­размерные. Кроме того, будем считать, что за связанные оси приняты главные оси инерции, ввиду чего выражения статических и враща­тельных производных от моментов крена и рыскания значительно упрощаются. Перейдем от действительного натурального времени t к безразмерному времени Ї, связанному с действительным размерным временем через масштаб времени т = m/pSV. Полагая, что t — їх, заменим в дифференциальных уравнениях dt на dlx. Силу Z и моменты Мх, Му выразим через безразмерные коэффициенты сг>. тх, ту угловые скорости СОэс, СО у — через безразмерные угловые скорости со*,

Сократив в полученных уравнениях общие множители и обозначив

получим вместо (17.7) систему четырех дифференциальных уравне­ний в безразмерной форме. При фиксированных органах управления эта система имеет следующий вид

— МуР + + щ, хйх

й* = ml р +fhxv&y -f тхх й*;
У = Mo (tox~ tgMJ.

Здесь р0 — безразмерная величина, так называемая отно­

сительная плотность самолета в боковом движении.

Характеристическое уравнение этой системы будет иметь тот же вид, что и для исходной системы уравнений (17.7):

-f — аа%8 ааЛ, а — J — ctik — f- а0 = О,

но коэффициенты этого уравнения будут выражаться теперь иначе

а3 — 2— Шх Шу $

а2 = mxxmyv + [тхх — f myv) — mxvmyx — pecosam£ —

— pesinamfl; (17.16)

С? / _ _ (V)., _ 6„ . _ n / _ ffl. A

a! [m/m/ — mx*tnyv) + (cos am** — sin am/J — f-
+ Рб ini (sin a thyy — cos am*1) ;

oo = p<scos 0 [fttx (thyv + tgdmyx) — ml [mxv + tgOm**)]..

Так как за исходный режим принят горизонтальный прямолинейный установившийся полет, то a = Ф = аг. п.

Поскольку безразмерные коэффициенты щ не содержат скорости полета, можно сделать вывод о том, что возмущенное движение самолета по своему характеру не зависит от скорости полета. С из­менением скорости меняется лишь масштаб времени, следовательно, переходные процессы будут с уменьшением скорости как бы растяги­ваться, а с увеличением — сжиматься. На устойчивость самолета скорость влияет только через влияние числа М (ожимаемости).

Особый интерес представляет вопрос о влиянии статической устой­чивости —-поперечной и флюгерной — на устойчивость бокового движения. Это связано с тем, что степенью статической устойчивости конструктор может варьировать сравнительно легко в широких пределах, меняя такие конструктивные параметры самолета, как угол поперечного V крыла, площадь и плечо вертикального оперения.

Поэтому построим границы спиральной и колебательной устой­чивости бокового движения на плоскости параметров т£, т%. Для этого всем величинам, входящим в выражения коэффициентов ха­рактеристического уравнения (17.16), кроме т*, т£ дадим конкрет­ные числовые значения. Из выражения для коэффициента а0 видно, что граница спиральной устойчивости а0 = 0 на плоскости параме­тров ihx, ту будет представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат (рис. 17.1).

Граница колебательной устойчивости представляет собой гипер­болу, которая в интересующем нас квадранте при ml < 0, ml < О идет очень полого. Ее нетрудно построить, но проанализировать на

Рис. 17.1. Границы боковой устойчивости:

граница апериодической устойчивости;

О) ,

границы колебательной устой­чивости

основании точных уравнений ана­литически невозможно. Поэтому упростим уравнения бокового воз­мущенного движения (17.15), ис-

суа а

ключив из первого уравнения гравитационную силу —cos try. так

как она мало влияет на колебательное движение. Тогда можно исклю­чить и последнее кинематическое уравнение. Получим систему трех дифференциальных уравнений с тремя неизвестными (|3, <ЬХ, й>и). Характеристическое уравнение этой системы имеет вид

К8 + Ьф2 + Ьф + Ь0 = 0. (17.17)

Можно показать, что b2 = а3; bj_ = а2; Ь0 — аг.

Условием колебательной устойчивости линейной системы третьего порядка будет неравенство Ьфг > Ь0 (произведение средних коэффи­циентов должно быть больше произведения крайних коэффициентов) или V>i — b0 >0.

Граница колебательной устойчивости определяется уравнением

— Ьф 1 — Ьо — 0.

На плоскости m*, это будет прямая линия, проходящая вблизи начала координат. Так как нас интересует главным образом наклон этой граничной линии, можно в выражении (17.14) отбросить свобод­ный член.

Тогда уравнение границы колебательной устойчивости на пло­скости m*, ml будет иметь вид

(17.18)

©г й © Р

На докритических углах атаки производные тх, muv, тху, сг всегда

отрицательны. щх может быть как положительной, так и отри­цательной.

При ту* < 0 граница колебательной устойчивости будет прохо­дить во втором и четвертом квадранте (см. рис. 17.1). Ее характер

при тух >0 зависит от угла атаки. При достаточно больших углах атаки она проходит через второй и четвертый, а при малых — пер­вый и третий квадранты.

Границы спиральной и колебательной устойчивости, приведен­ные на’рис. 17.1, позволяют сделать следующие выводы о влиянии статической устойчивости на боковую устойчивость самолета. При увеличении путевой статической устойчивости самолет прибли­жается к границе спиральной устойчивости и может стать спирально неустойчивым. Степень путевой статической устойчивости, при ко­торой произойдет потеря спиральной устойчивости тем больше, чем больше поперечная статическая устойчивость самолета.

Если увеличивается поперечная статическая устойчивость при thy = const, самолет удаляется от границы спиральной устойчи­вости, но при этом ухудшается затухание его колебательного движе­ния. В некоторых случаях возможна потеря колебательной устой­чивости. Такой характер влияния статической устойчивости на боко­вое движение можно объяснить следующим образом. Пусть самолет получил начальное возмущение — положительный угол крена, на­кренился на правое полукрыло. В соответствии с первым уравнением системы (17.15) следствием этого будет возникновение положитель­ного угла скольжения и пропорциональных, ему моментов МІР и MjJp. Если самолет обладает статической устойчивостью в боковом движении, эти моменты будут отрицательными. Под действием мо­ментов MlР и Ml Р самолет начнет поворачиваться относительно продольной оси ОХ, уменьшая крен, и относительно Нормаль­ной оси ОУ, уменьшая угол скольжения. Если велика путе­вая статическая устойчивость, самолет будет двигаться без скольже­ния, момент крена МІр будет равен нулю, начальный угол крена сохранится и вызовет движение самолета по спирали. Если наоборот, путевая устойчивость мала по сравнению с поперечной, то угол сколь­жения будет уменьшаться медленно, а угол крена — быстро. В мо­мент, когда крен станет нулевым, положительное скольжение еще останется, следовательно, самолет будет продолжать вращаться отно­сительно продольной оси, увеличивая крен на левое полукрыло.

Отрицательный угол крена приведет к скольжению на левое полу­крыло, появится положительный момент крена м£р и самолет начнет крениться в обратную сторону. Будет иметь место движение самолета типа «голландского шага», сопровождающееся колебательным дви­жением самолета с полукрыла на полукрыло вокруг продольной оси и разворотами вокруг нормальной оси. Траектория движения будет иметь форму змейки.

Таким образом, требования к характеристикам статической устойчивости с позиций спиральной и колебательной устойчивости противоречивы.. При увеличении спиральной устойчивости ухуд­шаются характеристики колебательного движения.

Ввиду того; что спиральное движение протекает вяло, так как определяется малым корнем, оно слабо ощущается летчиком, даже в случае’некоторой спиральной неустойчивости. Колебания самолета по крену и рысканию со. значительной частотой, напротив, очень за­трудняют пилотирование. Поэтому предпочтение отдаётся характе­
ристикам колебательного движения. Оно не только должно быть без­условно затухающим, но и должно обладать определенными количест­венными характеристиками. Помимо колебательной устойчивости регламентируется качество колебательной составляющей переход­ного процесса в боковом возмущенном движении.

Так, в Нормах летной годности гражданских самолетов сказано, что затухание боковых колебаний до 5 % начальной амплитуды должно происходить не более чем за 12 с на взлетно-посадочных ре­жимах и не более чем за 20 с на крейсерских режимах полета.

Что касается спирального движения, то Нормами допускается и его неустойчивость, но при этом время увеличения угла крена вдвое должно быть не менее 20 с.

Важное значение в оценке боковой устойчивости самолета имеет амплитуда колебаний угловой скорости крена, а следовательно, и угла крена, отношение максимальных амплитуд угловых скоростей крена и рыскания | сож |тах/| соу |тах = х в свободном возмущенном движении самолета. Так как главную роль в колебаниях сож и играют моменты от скольжения, в первом приближении показатель и можно определйть через отношение ускорений от этих моментов

Щ Jy

В связи с тем, что у современных самолетов из-за стреловидности крыльев сильно возросла поперечная статическая устойчивость (особенно на больших углах атаки), а отношение моментов инерции JyUx увеличилось до 10 и более (вместо 3 … 4 у самолетов прошлого), показатель и современных самолетов значительно возрос (и « 1 … 3) Эта неблагоприятная тенденция в изменении динамики бокового движения современных самолетов компенсируется увеличением демп­фирования боковых колебаний с помощью автоматики. Несмотря на большие величины отношения угловых скоростей крена и рыскания, переходные процессы при большом демпфировании не восприни­маются летчиком, как неудовлетворительные ввиду небольших абсо — лютных значений угловых скоростей.